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科研進展

2021年11月02日
中國科大在偏微分方程和復幾何領域取得重要突破

近日,中國科大幾何(he)(he)與(yu)物理研究(jiu)中心創始主(zhu)任陳秀(xiu)雄(xiong)教授在偏微分方(fang)程和(he)(he)復幾何(he)(he)領域取得重(zhong)要“里(li)程碑式(shi)結果(guo)”。他與(yu)合作(zuo)(zuo)者程經睿完成的(de)(de)愛游戲(xi)體育app下載一(yi)類四(si)階完全非(fei)線(xian)性橢圓(yuan)方(fang)程的(de)(de)先驗估(gu)計和(he)(he)凱勒(le)流形上(shang)有關(guan)卡(ka)(ka)拉(la)比極值度量(liang)若干(gan)(gan)著名猜想的(de)(de)兩篇論(lun)(lun)文先后發表(biao)在國際著名雜(za)志 Journal of American Mathematical Society上(shang)。論(lun)(lun)文解決(jue)了若干(gan)(gan)有關(guan)凱勒(le)流形上(shang)常標量(liang)曲(qu)率度量(liang)和(he)(he)卡(ka)(ka)拉(la)比極值度量(liang)的(de)(de)著名問題,包括長(chang)期未決(jue)的(de)(de)強制性猜想和(he)(he)測(ce)地穩(wen)定性猜想,將(jiang)對(dui)幾何(he)(he)和(he)(he)偏微分方(fang)程的(de)(de)研究(jiu)產(chan)生(sheng)重(zhong)要的(de)(de)影響。同行專家評論(lun)(lun),上(shang)述(shu)工作(zuo)(zuo)“屬于凱勒(le)幾何(he)(he)里(li)最重(zhong)要結果(guo)中的(de)(de)上(shang)乘之作(zuo)(zuo)”“必將(jiang)成為幾何(he)(he)和(he)(he)分析兩個領域經典”。

美國(guo)數(shu)學(xue)家克勞(lao)德·勒布潤(run)評(ping)價“該(gai)系(xi)列(lie)論文是復(fu)微分幾(ji)(ji)何領域一個(ge)非(fei)凡的(de)(de)(de)、根本(ben)的(de)(de)(de)、完全出(chu)乎意料的(de)(de)(de)進展。這些卓(zhuo)越的(de)(de)(de)工作應(ying)該(gai)會在數(shu)學(xue)的(de)(de)(de)其(qi)它領域包括與復(fu)微分幾(ji)(ji)何相去甚遠的(de)(de)(de)領域產生影響。”法國(guo)科學(xue)院(yuan)院(yuan)士吉恩(en)-皮埃爾(er)·德瑪依認為“他(ta)們(men)的(de)(de)(de)結(jie)果(guo)看來是對(dui)當代復(fu)微分幾(ji)(ji)何一個(ge)極(ji)其(qi)重要的(de)(de)(de)貢獻。”美國(guo)科學(xue)院(yuan)院(yuan)士布萊恩(en)·勞(lao)森評(ping)價道“陳(chen)和程最近的(de)(de)(de)系(xi)列(lie)論文令人驚(jing)嘆(tan),誠為該(gai)領域一個(ge)實質性的(de)(de)(de)突破(po)。他(ta)們(men)做出(chu)的(de)(de)(de)先驗估計前(qian)所(suo)未見,乃(nai)絕佳力作,并在此(ci)估計的(de)(de)(de)基礎上,獲得了一系(xi)列(lie)重要結(jie)果(guo)。”

凱勒(le)流形上(shang)的(de)常標量(liang)曲率度量(liang)的(de)存(cun)在(zai)性(xing)是(shi)過去六十(shi)多年來(lai)幾(ji)何(he)中的(de)核心問題之(zhi)一(yi),它的(de)研究吸引了幾(ji)代杰出的(de)幾(ji)何(he)分析學家。愛游戲體育app下載其存(cun)在(zai)性(xing),有三(san)個著(zhu)名(ming)的(de)猜(cai)想(xiang)——穩定性(xing)猜(cai)想(xiang)、強(qiang)制性(xing)猜(cai)想(xiang)和測地(di)穩定性(xing)猜(cai)想(xiang)。穩定性(xing)猜(cai)想(xiang)限制在(zai)凱勒(le)-愛因斯(si)坦(tan)度量(liang)時(shi)稱為丘成桐猜(cai)想(xiang),由丘成桐于上(shang)世紀九(jiu)十(shi)年代提出,并由陳(chen)秀雄、唐(tang)納森(sen)和孫崧率先解決。強(qiang)制性(xing)猜(cai)想(xiang)和測地(di)穩定性(xing)猜(cai)想(xiang)中的(de)必要性(xing),經過最近(jin)二十(shi)多年眾多著(zhu)名(ming)數(shu)學家的(de)工(gong)作,已變(bian)得完全清晰。然而(er),其充分性(xing)的(de)證明在(zai)陳(chen)-程的(de)工(gong)作之(zhi)前被(bei)認為是(shi)遙不可及的(de)。

常標量(liang)(liang)曲率(lv)度量(liang)(liang)的(de)(de)(de)(de)存(cun)在(zai)(zai)性(xing)(xing)可轉(zhuan)化(hua)成一(yi)類(lei)(lei)四階完(wan)全(quan)非線性(xing)(xing)橢圓方(fang)程(cheng)(cheng)解的(de)(de)(de)(de)存(cun)在(zai)(zai)性(xing)(xing)。陳-程(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)工(gong)作(zuo)(zuo)恰恰就(jiu)是在(zai)(zai)K-能量(liang)(liang)強(qiang)制性(xing)(xing)或測地穩定性(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)假設下證(zheng)明這(zhe)類(lei)(lei)方(fang)程(cheng)(cheng)解的(de)(de)(de)(de)存(cun)在(zai)(zai)。這(zhe)類(lei)(lei)方(fang)程(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)研究(jiu)極為困難,長期以(yi)來業內專家普(pu)遍不相信會有一(yi)個令(ling)人(ren)滿意(yi)的(de)(de)(de)(de)存(cun)在(zai)(zai)性(xing)(xing)理論(lun)。在(zai)(zai)陳-程(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)工(gong)作(zuo)(zuo)前,對此類(lei)(lei)方(fang)程(cheng)(cheng)幾乎沒有合(he)適的(de)(de)(de)(de)處理工(gong)具。陳-程(cheng)(cheng)最重要的(de)(de)(de)(de)突破是給(gei)出了(le)這(zhe)類(lei)(lei)方(fang)程(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)先驗(yan)估(gu)計以(yi)及成功(gong)實現(xian)了(le)陳秀雄(xiong)教授提出的(de)(de)(de)(de)新(xin)的(de)(de)(de)(de)連(lian)續參數的(de)(de)(de)(de)策略。菲(fei)爾茲獎得主西蒙(meng)·唐納(na)森(sen)爵(jue)士評價“他(ta)們的(de)(de)(de)(de)工(gong)作(zuo)(zuo)已(yi)經提供了(le)眾多常標量(liang)(liang)曲率(lv)凱勒度量(liang)(liang)的(de)(de)(de)(de)新(xin)例子,毫無疑問也將成為完(wan)全(quan)認識這(zhe)個問題的(de)(de)(de)(de)基礎。”

此外,陳(chen)-程的文(wen)章(zhang)(zhang)中(zhong)還有(you)許多其它突破性的結果。例如,他們給(gei)出了環對稱凱(kai)(kai)勒(le)流形上 穩定性猜(cai)(cai)想(xiang)的證明(ming),將唐(tang)納森在環對稱凱(kai)(kai)勒(le)曲(qu)面上的經典定理推廣(guang)到了高維。愛游戲體育app下載(zai)一(yi)般(ban)穩定性猜(cai)(cai)想(xiang)的證明(ming),兩位(wei)作者在文(wen)章(zhang)(zhang)中(zhong)提出了一(yi)系(xi)列深刻的問題和可能(neng)的解(jie)決方案。盡(jin)管(guan)還有(you)諸(zhu)多困(kun)難需要克服,專家們相(xiang)信穩定性猜(cai)(cai)想(xiang)的完(wan)全解(jie)決已成為可能(neng)。在文(wen)章(zhang)(zhang)的預(yu)印本公開(kai)后(hou)的兩年里(li),已經出現了一(yi)系(xi)列重要進展(zhan)。

陳秀雄教(jiao)授近年來在(zai)(zai)偏(pian)微分方(fang)程和(he)復(fu)幾何(he)領域(yu)取得了一(yi)(yi)(yi)系列重(zhong)要(yao)進(jin)展,改(gai)變了該領域(yu)的(de)(de)(de)面貌。除了此次完成(cheng)的(de)(de)(de)重(zhong)要(yao)成(cheng)果外,他與王兵合(he)(he)作(zuo)(zuo)(zuo)證(zheng)明了法諾凱(kai)勒里(li)奇流(liu)極(ji)(ji)限的(de)(de)(de)弱緊性(xing), 繼而(er)與孫崧和(he)王兵合(he)(he)作(zuo)(zuo)(zuo)證(zheng)明了極(ji)(ji)限的(de)(de)(de)唯一(yi)(yi)(yi)性(xing),并給出了丘成(cheng)桐猜(cai)想的(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)個(ge)基(ji)于凱(kai)勒里(li)奇流(liu)的(de)(de)(de)新(xin)證(zheng)明。值得一(yi)(yi)(yi)提的(de)(de)(de)是,陳教(jiao)授這次的(de)(de)(de)合(he)(he)作(zuo)(zuo)(zuo)者程經睿在(zai)(zai)完成(cheng)這項工(gong)作(zuo)(zuo)(zuo)時博士尚未畢業, 其研究(jiu)潛力可見一(yi)(yi)(yi)斑(ban)。

論文鏈接:


(幾何(he)與(yu)物理中心、科研部)

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